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Resumen del Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor

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Alberto Torrejón

Coordinador de Academia M25

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Bienvenidos a las Matemáticas de Academia M25. En este post hablaremos del MCM y MCD. Te recomendamos que si no has visto el post anterior lo mires antes de ponerte a ver este nuevo contenido:

 

¿QUÉ ES EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO?

El MCM es el menor número que es múltiplo de dos o más números. En otras palabras, es el menor número que puede ser dividido exactamente por esos números.

Por ejemplo, para determinar el MCM de 4 y 6:

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, …

El primer múltiplo común que encontramos en ambas listas es el 12. Por lo tanto, el MCM(4, 6) es 12.

 

Método para encontrar el MCM

1. Método de los factores primos: Este método consiste en descomponer cada número en sus factores primos y luego tomar los factores comunes y no comunes con sus mayores exponentes.

Por ejemplo, para encontrar el MCM de 12 y 15:

  •   Descomponemos  12: 2^2 . 3^1
  •  Descomponemos  15: 3^1 . 5^1

 

Ahora, tomamos todos los factores primos, tanto comunes como no comunes, con sus mayores exponentes:

MCM(12,15) =2^2 . 3^1 . 5^1= 60

 

 

2. Método de la división sucesiva: Este método implica dividir números sucesivamente por primos hasta llegar a 1.

Por ejemplo, para encontrar el MCM de 12 y 15:

 

2  ∣  12, 15 

     ∣  6, 15   (15  no  es  divisible  entre  2) 

3  ∣  6, 15 

     ∣  2, 5 

5  ∣  2, 5 

     ∣  1, 1 

Tomamos todos los divisores y los multiplicamos entre sí:

MCM(12,15) =2^2 . 3^1 . 5^1= 60

 

 

3. Método del MCD: Como mencioné anteriormente, el MCM de dos números se puede determinar utilizando el Máximo Común Divisor (MCD) de los mismos:

 

MCM (a,b) =\frac {(a,b)} {MCD (a×b)}

Este método es especialmente útil cuando ya conoces el MCD de los números o si estás trabajando con números grandes, ya que el método de Euclides para calcular el MCD es muy eficiente.

 

 

4. Método del listado de múltiplos: Aunque no es el más eficiente, puedes simplemente listar los múltiplos de cada número hasta que encuentres un número que aparezca en ambas listas.

Por ejemplo, para 4 y 5:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, … Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

El primer múltiplo común es 20. Así que, MCM(4,5) = 20.

Este método es práctico para números pequeños, pero puede ser muy laborioso para números grandes.

Estos son algunos de los métodos para encontrar el MCM. Dependiendo de la situación o el problema, uno puede ser más conveniente que otro.

 

¿QUÉ ES EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)?

El MCD es el mayor número que puede dividir a dos o más números sin dejar residuo. En otras palabras, es el mayor número que es divisor común de los números dados.

Por ejemplo, para determinar el MCD de 12 y 15:

Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Los divisores de 15 son: 1, 3, 5, 15.

Los divisores comunes son: 1 y 3. Por lo tanto, el MCD (12, 15) es 3.

 

Método para encontrar el MCD

Una de las formas más eficientes de determinar el MCD de dos números es a través del algoritmo de Euclides. Aquí te muestro cómo funciona este algoritmo:

  1. Dividir el número mayor entre el menor.
  2. Tomar el residuo de esa división.
  3. Dividir el número menor entre ese resto.
  4. Continuar este proceso de dividir el divisor anterior entre el resto anterior hasta que el resto sea cero.
  5. El último divisor no nulo es el MCD.

 

Por ejemplo, para encontrar el MCD de 56 y 98:

  1. 98 ÷ 56 = 1 con resto 42.
  2. 56 ÷ 42 = 1 con resto 14.
  3. 42 ÷ 14 = 3 con resto 0.

 

Entonces, el MCD (56, 98) es 14.

 

EJERCICIOS DE MCM Y MCD

1. Realice el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de las siguientes agrupaciones de números:

a) 1, 3, 5 y 10
b) 12 y 15
c) 10, 100 y 1000

Solución en el vídeo superior

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